13. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает \(\frac{1}{2}\) высоты. Объём жидкости равен 90 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Решение:

Объём конуса находится по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

Если уровень жидкости достигает \(\frac{1}{2}\) высоты, то радиус жидкости также будет равен \(\frac{1}{2}\) радиуса основания конуса. Пусть \( h \) — высота конуса, \( r \) — радиус основания. Тогда высота жидкости \( h_ж = \frac{1}{2} h \), а радиус жидкости \( r_ж = \frac{1}{2} r \).

Объём жидкости \( V_ж = \frac{1}{3} \pi (r_ж)^2 h_ж = \frac{1}{3} \pi (\frac{1}{2} r)^2 (\frac{1}{2} h) = \frac{1}{3} \pi \frac{1}{4} r^2 \frac{1}{2} h = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{3} \pi r^2 h \right) = \frac{1}{8} V \).

По условию, \( V_ж = 90 \) мл. Следовательно, \( \frac{1}{8} V = 90 \) мл.

Полный объём конуса \( V = 8 \times 90 \) мл = \( 720 \) мл.

Чтобы наполнить сосуд доверху, нужно долить \( V - V_ж = 720 \) мл – \( 90 \) мл = \( 630 \) мл.

Ответ: 630 мл.