Ответ:

После русских приставок на согласную в корне вместо начальной и пишется ы; после иноязычных приставок и приставок меж-, сверх- сохраняется и.

  1. разыграть — разыграть партию;
  2. безынициативный — безынициативный сотрудник;
  3. сверхинициативный — сверхинициативный ученик;
  4. небезызвестный — небезызвестный писатель;
  5. подытожить — подытожить беседу;
  6. межинститутский — межинститутский конкурс.