13. Вычислить площадь основания \(S_{\triangle ABC}\) и объём пирамиды с вершинами в точках A(7, 2, 4), B(5, −1, −2), C(3, −2, 1), D(−4, 2, 1).

Найдём векторы: \(\overrightarrow{AB}=(-2,-3,-6)\), \(\overrightarrow{AC}=(-4,-4,-3)\), \(\overrightarrow{AD}=(-11,0,-3)\).

Площадь основания: \[S_{\triangle ABC}=\frac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|.\] \[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-15,18,-4),\quad \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{225+324+16}=\sqrt{565}.\] Поэтому \[S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{565}}2.\]

Объём пирамиды: \[V=\frac16\left|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\right|.\] \[\det\begin{pmatrix}-2&-3&-6\\-4&-4&-3\\-11&0&-3\end{pmatrix}=-102.\] Следовательно, \[V=\frac{102}{6}=17.\]

Ответ: \(S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{565}}2\), \(V=17\).