13. Выполните действия. 1) Решите уравнение sin π(x+1) = -1. 2 2) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [9;11].

Решение:

1. Решение уравнения:

   Для уравнения sin(\( \frac{\pi(x+1)}{2} \)) = -1, общий вид решения:

   • \[ \frac{\pi(x+1)}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{\pi(x+1)}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

   Упростим первое уравнение:

   • \[ \frac{x+1}{2} = \frac{3}{2} + 2n \]
   • \[ x+1 = 3 + 4n \]
   • \[ x = 2 + 4n \]

   Упростим второе уравнение:

   • \[ \frac{x+1}{2} = -\frac{1}{2} + 2n \]
   • \[ x+1 = -1 + 4n \]
   • \[ x = -2 + 4n \]

   Общее решение уравнения:

   • \[ x = 2 + 4n \text{ и } x = -2 + 4n, \text{ где } n \text{ — целое число} \]
2. Поиск корней на отрезке [9;11]:

Рассмотрим серию корней $$x = 2 + 4n$$:

• Если $$n=1$$, то $$x = 2 + 4(1) = 6$$ (не входит в отрезок [9;11]).
• Если $$n=2$$, то $$x = 2 + 4(2) = 10$$ (входит в отрезок [9;11]).
• Если $$n=3$$, то $$x = 2 + 4(3) = 14$$ (не входит в отрезок [9;11]).

Рассмотрим серию корней $$x = -2 + 4n$$:

• Если $$n=2$$, то $$x = -2 + 4(2) = 6$$ (не входит в отрезок [9;11]).
• Если $$n=3$$, то $$x = -2 + 4(3) = 10$$ (входит в отрезок [9;11]).
• Если $$n=4$$, то $$x = -2 + 4(4) = 14$$ (не входит в отрезок [9;11]).

Единственный корень, принадлежащий отрезку [9;11], — это $$x=10$$.

Ответ: 10