1305 Периметр четырёхугольника MNPQ относится к периметру подобного ему четырёхугольника M₁N₁P₁Q₁ как 3 : 5. Длина стороны MN = 7 см, а длина P₁Q₁ на 5 см больше длины стороны M₁N₁. Найдите длину стороны PQ.

Это задача на подобные четырёхугольники. Отношение периметров подобных фигур равно отношению их соответствующих сторон.

Дано:

• Четырёхугольник MNPQ ~ Четырёхугольнику M₁N₁P₁Q₁.
• \[ \frac{P_{MNPQ}}{P_{M_1N_1P_1Q_1}} = \frac{3}{5} \]
• MN = 7 см
• P₁Q₁ = M₁N₁ + 5 см

Найти:

• PQ

Решение:

1. Найдём длину стороны M₁N₁:
• Нам известно, что P₁Q₁ на 5 см больше M₁N₁.
• Также, P₁Q₁ и M₁N₁ — соответствующие стороны подобных четырёхугольников.
• Из отношения периметров следует, что отношение соответствующих сторон равно 3/5.
• Значит, \[ \frac{MN}{M_1N_1} = \frac{3}{5} \]
• Подставим известное значение MN:

\[ \frac{7 \text{ см}}{M_1N_1} = \frac{3}{5} \]

• Выразим M₁N₁:

\[ M_1N_1 = \frac{7 \text{ см} \times 5}{3} = \frac{35}{3} \text{ см} \]

2. Найдём длину стороны P₁Q₁:
• P₁Q₁ = M₁N₁ + 5 см

\[ P_1Q_1 = \frac{35}{3} \text{ см} + 5 \text{ см} = \frac{35}{3} \text{ см} + \frac{15}{3} \text{ см} = \frac{50}{3} \text{ см} \]

3. Найдём длину стороны PQ:
• Так как четырёхугольники подобны, отношение сторон PQ к P₁Q₁ равно отношению периметров:

\[ \frac{PQ}{P_1Q_1} = \frac{3}{5} \]

• Подставим значение P₁Q₁:

\[ \frac{PQ}{\frac{50}{3} \text{ см}} = \frac{3}{5} \]

• Выразим PQ:

\[ PQ = \frac{3}{5} \times \frac{50}{3} \text{ см} \]

\[ PQ = \frac{3 \times 50}{5 \times 3} \text{ см} = \frac{150}{15} \text{ см} = 10 \text{ см} \]

Ответ: Длина стороны PQ равна 10 см.