1311. Отметьте точку O и начертите прямую l так, чтобы O ∉ l. Постройте прямую, в которую переходит прямая l при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом k, если: а) k = 2; б) k = −0,5; в) k = −3; г) k = 3.

Question

Вопрос:

Фото задания: 1311. Отметьте точку O и начертите прямую l так, чтобы O ∉ l. Постройте прямую, в которую переходит прямая l при гомотетии…

1311. Отметьте точку O и начертите прямую l так, чтобы O ∉ l. Постройте прямую, в которую переходит прямая l при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом k, если: а) k = 2; б) k = −0,5; в) k = −3; г) k = 3.

Accepted Answer

Выберем на прямой l две точки A и B. Для каждой точки построим её образ по правилу гомотетии: \(\overrightarrow{OA'}=k\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB'}=k\overrightarrow{OB}\). Искомая прямая — это прямая \(A'B'\).

При положительном коэффициенте образ лежит по ту же сторону от точки O, что и прямая l; при отрицательном — по противоположную сторону. Образ прямой, не проходящей через центр гомотетии, параллелен исходной прямой.

а) \(k=2\)

Точки A′ и B′ находятся на лучах OA и OB, причём \(OA'=2OA\), \(OB'=2OB\).

б) \(k=-0.5\)

Точки A′ и B′ находятся на противоположных лучах, причём \(OA'=0.5OA\), \(OB'=0.5OB\).

в) \(k=-3\)

Точки A′ и B′ находятся на противоположных лучах, причём \(OA'=3OA\), \(OB'=3OB\).

г) \(k=3\)

Точки A′ и B′ находятся на тех же лучах, что и точки A и B, причём \(OA'=3OA\), \(OB'=3OB\).

Ответ: во всех четырёх случаях образ прямой l′ параллелен прямой l; при k = 2 и k = 3 он расположен по ту же сторону от O, а при k = −0,5 и k = −3 — по противоположную сторону.