132 Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события: а) А «при первом броске выпадет шестёрка» и в «при втором броске выпадет меньше трёх очков»; б) А «при первом броске выпадет больше трёх очков» и В «сумма выпавших очков меньше девяти»?

Анализ задачи:

Для проверки независимости событий необходимо сравнить вероятность их совместного наступления с произведением их индивидуальных вероятностей. Броски игральной кости являются независимыми событиями, если исход одного броска не влияет на исход другого.

Решение:

а)

Событие А: «при первом броске выпадет шестёрка». Вероятность P(A) = 1/6.

Событие В: «при втором броске выпадет меньше трёх очков» (то есть 1 или 2). Вероятность P(B) = 2/6 = 1/3.

Событие (A ∩ B): «при первом броске выпадет шестёрка И при втором броске выпадет меньше трёх очков». Так как броски независимы, вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/3) = 1/18.

Сравним P(A ∩ B) с P(A) * P(B): 1/18 = 1/18. Таким образом, события независимы.

б)

Событие А: «при первом броске выпадет больше трёх очков» (то есть 4, 5 или 6). Вероятность P(A) = 3/6 = 1/2.

Событие В: «сумма выпавших очков меньше девяти».

Перечислим все возможные исходы (36 пар) и посчитаем, в каких из них сумма очков меньше 9:

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5)

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)

(6,1), (6,2), (6,3)

Всего 30 благоприятных исходов. Вероятность P(B) = 30/36 = 5/6.

Событие (A ∩ B): «при первом броске выпадет больше трёх очков И сумма выпавших очков меньше девяти».

Если при первом броске выпало 4, то второй бросок должен быть 1, 2, 3, 4 (сумма < 9). (4 исхода)

Если при первом броске выпало 5, то второй бросок должен быть 1, 2, 3 (сумма < 9). (3 исхода)

Если при первом броске выпало 6, то второй бросок должен быть 1, 2 (сумма < 9). (2 исхода)

Всего 4 + 3 + 2 = 9 благоприятных исходов.

Вероятность P(A ∩ B) = 9/36 = 1/4.

Произведение вероятностей: P(A) * P(B) = (1/2) * (5/6) = 5/12.

Сравним P(A ∩ B) с P(A) * P(B): 1/4 ≠ 5/12. Таким образом, события зависимы.

Ответ:

а) Да, события независимы.

б) Нет, события зависимы.