132 Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события: а) А «при первом броске выпадет шестёрка» и В «при втором броске выпадет меньше трёх очков»; б) А «при первом броске выпадет больше трёх очков» и В «сумма выпавших очков меньше девяти»?

Решение:

Два события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от наступления другого.

а) А «при первом броске выпадет шестёрка» и В «при втором броске выпадет меньше трёх очков»

Вероятность события А: \( P(A) = \frac{1}{6} \) (выпадение шестёрки).

Вероятность события В: \( P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) (выпадение 1 или 2 очков).

Так как результат первого броска не влияет на результат второго броска, события А и В являются независимыми.

б) А «при первом броске выпадет больше трёх очков» и В «сумма выпавших очков меньше девяти»

Вероятность события А: \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (выпадение 4, 5 или 6 очков).

Теперь рассмотрим событие В. Если событие А произошло (выпало больше трёх очков), то возможные исходы:

• (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5) — сумма меньше 9.
• (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4) — сумма меньше 9.
• (6, 1), (6, 2) — сумма меньше 9.

Таким образом, если выпало больше трёх очков, то вероятность того, что сумма будет меньше девяти, зависит от конкретного исхода первого броска. Например, если выпала 6, то для суммы меньше 9, второй бросок должен быть 1 или 2. Если бы мы просто бросали кость дважды, вероятность суммы меньше 9 была бы другой.

Следовательно, события А и В являются зависимыми.

Ответ: а) да, независимы; б) нет, зависимы.