132. В треугольнике АВС ∠A = 90°, AB = 5 см, ВС = 13 см. Найдите радиус окружности с центром С, если она имеет с прямой АВ только одну общую точку.

Задание 132

Дано:

• \( \triangle ABC \)
• \( \angle A = 90^{\circ} \)
• \( AB = 5 \) см
• \( BC = 13 \) см
• Окружность с центром в точке \( C \)

Найти: радиус окружности \( r \), если окружность имеет с прямой \( AB \) только одну общую точку.

Решение:

1. Сначала найдём длину катета \( AC \) по теореме Пифагора: \( AC^2 + AB^2 = BC^2 \)
2. \( AC^2 + 5^2 = 13^2 \)
3. \( AC^2 + 25 = 169 \)
4. \( AC^2 = 169 - 25 = 144 \)
5. \( AC = \sqrt{144} = 12 \) см.
6. Окружность с центром в точке \( C \) имеет с прямой \( AB \) одну общую точку, если прямая касается окружности. Это возможно в двух случаях:
• а) Окружность касается прямой AB. Расстояние от центра окружности (точка \( C \)) до прямой \( AB \) равно радиусу окружности. Так как \( \angle A = 90^{\circ} \), то расстояние от \( C \) до прямой \( AB \) равно длине отрезка \( AC \).
• б) Прямая AB проходит через точку на окружности, и касательная в этой точке перпендикулярна AB. Это не соответствует условию, так как окружность с центром в \( C \) и касательная \( AB \) перпендикулярны в точке \( A \).
7. В случае, когда окружность имеет с прямой \( AB \) только одну общую точку, расстояние от центра окружности \( C \) до прямой \( AB \) должно быть равно радиусу \( r \).
8. Поскольку \( \angle A = 90^{\circ} \), отрезок \( AC \) перпендикулярен прямой \( AB \). Следовательно, длина отрезка \( AC \) является расстоянием от точки \( C \) до прямой \( AB \).
9. Таким образом, радиус окружности \( r \) равен длине катета \( AC \).
10. \( r = AC = 12 \) см.

Ответ: 12 см.