133. Случайным образом выбираем натуральное число от 1 до 24. Событие C – «число чётное». Являются ли события C и D независимыми, если событие D состоит в том, что: а) выбранное число делится на 3; б) выбранное число делится на 7?

Краткое пояснение:

Два события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Для проверки независимости событий C и D, нам нужно сравнить вероятность произведения вероятностей каждого события с вероятностью их совместного наступления. Если P(C ∩ D) = P(C) * P(D), то события независимы.

Пошаговое решение:

Всего натуральных чисел от 1 до 24: 24.

Событие C: «число чётное».

• Чётные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.
• Количество чётных чисел: 12.
• Вероятность события C: P(C) = (Количество чётных чисел) / (Общее количество чисел) = 12/24 = 1/2.

Случай а) Событие D: «выбранное число делится на 3».

• Числа, делящиеся на 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24.
• Количество чисел, делящихся на 3: 8.
• Вероятность события D: P(D) = (Количество чисел, делящихся на 3) / (Общее количество чисел) = 8/24 = 1/3.

Совместное событие C ∩ D: «число чётное И делится на 3».

• Это означает, что число должно быть кратно 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3).
• Числа, кратные 6: 6, 12, 18, 24.
• Количество чисел, кратных 6: 4.
• Вероятность совместного события C ∩ D: P(C ∩ D) = (Количество чисел, кратных 6) / (Общее количество чисел) = 4/24 = 1/6.

Проверка независимости:

• Произведение вероятностей: P(C) * P(D) = (1/2) * (1/3) = 1/6.
• Сравнение: P(C ∩ D) = 1/6 и P(C) * P(D) = 1/6.
• Так как P(C ∩ D) = P(C) * P(D), события C и D независимы.

Случай б) Событие D: «выбранное число делится на 7».

• Числа, делящиеся на 7: 7, 14, 21.
• Количество чисел, делящихся на 7: 3.
• Вероятность события D: P(D) = (Количество чисел, делящихся на 7) / (Общее количество чисел) = 3/24 = 1/8.

Совместное событие C ∩ D: «число чётное И делится на 7».

• Это означает, что число должно быть кратно 14 (наименьшее общее кратное 2 и 7).
• Числа, кратные 14: 14.
• Количество чисел, кратных 14: 1.
• Вероятность совместного события C ∩ D: P(C ∩ D) = (Количество чисел, кратных 14) / (Общее количество чисел) = 1/24.

Проверка независимости:

• Произведение вероятностей: P(C) * P(D) = (1/2) * (1/8) = 1/16.
• Сравнение: P(C ∩ D) = 1/24 и P(C) * P(D) = 1/16.
• Так как P(C ∩ D) ≠ P(C) * P(D), события C и D зависимы.

Ответ:

а) События C и D независимы.

б) События C и D зависимы.