135. Найдите значение выражения: а) 1/(5·6) + 1/(6·7) + 1/(7·8) + … + 1/(18·19) + 1/(19·20); б) 1/(9·11) + 1/(11·13) + 1/(13·15) + … + 1/(21·23) + 1/(23·25).

а) Используем разложение дроби:

1/[n(n + 1)] = 1/n − 1/(n + 1).

Тогда сумма телескопическая:

(1/5 − 1/6) + (1/6 − 1/7) + … + (1/19 − 1/20) = 1/5 − 1/20 = 3/20.

б) Используем разложение:

1/[n(n + 2)] = (1/2)(1/n − 1/(n + 2)).

Соседние слагаемые сокращаются:

(1/2)[(1/9 − 1/11) + (1/11 − 1/13) + … + (1/23 − 1/25)] = (1/2)(1/9 − 1/25) = (1/2)(16/225) = 8/225.

Ответ: а) 3/20; б) 8/225.