135. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки CO и C₁O₁ — медианы, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁. Докажите, что: а) △ACO = △A₁C₁O₁; б) △BCO = △B₁C₁O₁.

Так как в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ известны равенства двух углов и заключённой между ними стороны, то

\[\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\]

по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Следовательно, соответствующие стороны равны:

\[AC = A_1C_1.\]

Поскольку CO и C₁O₁ — медианы, точки O и O₁ являются серединами отрезков BC и B₁C₁:

\[CO=\frac{BC}{2},\qquad C_1O_1=\frac{B_1C_1}{2}.\]

Из условия \(BC=B_1C_1\), поэтому

\[CO=C_1O_1.\]

Кроме того, лучи CO и CB совпадают, а лучи C₁O₁ и C₁B₁ совпадают. Поэтому

\[\angle ACO=\angle ACB=\angle C=\angle C_1=\angle A_1C_1B_1=\angle A_1C_1O_1.\]

Итак, в треугольниках ACO и A₁C₁O₁ равны две стороны и угол между ними:

\[AC=A_1C_1,\qquad CO=C_1O_1,\qquad \angle ACO=\angle A_1C_1O_1.\]

Следовательно,

а) \(\triangle ACO=\triangle A_1C_1O_1\) по первому признаку равенства треугольников.

Для треугольников BCO и B₁C₁O₁ имеем:

\[BC=B_1C_1,\qquad CO=C_1O_1,\qquad \angle BCO=\angle C=\angle C_1=\angle B_1C_1O_1.\]

Следовательно, равны две стороны и угол между ними.

б) \(\triangle BCO=\triangle B_1C_1O_1\) по первому признаку равенства треугольников.