135. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки CO и C₁O₁ — медианы, даны BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁. Докажите, что: а) △ACO = △A₁C₁O₁; б) △BCO = △B₁C₁O₁.

Сначала рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). По условию \(BC=B_1C_1\), \(\angle B=\angle B_1\) и \(\angle C=\angle C_1\). Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда \(AC=A_1C_1\), \(AB=A_1B_1\), а соответствующие углы равны.

1. а) Так как \(CO\) и \(C_1O_1\) — медианы, точки \(O\) и \(O_1\) — середины сторон \(AB\) и \(A_1B_1\). Поэтому \(AO=\frac{AB}{2}=\frac{A_1B_1}{2}=A_1O_1\). Поскольку \(O\) лежит на \(AB\), а \(O_1\) — на \(A_1B_1\), \(\angle CAO=\angle CAB=\angle C_1A_1B_1=\angle C_1A_1O_1\). Вместе с \(AC=A_1C_1\) это даёт равенство \(\triangle ACO=\triangle A_1C_1O_1\) по двум сторонам и углу между ними.

2. б) Из равенства больших треугольников следует \(BC=B_1C_1\) и \(\angle CBA=\angle C_1B_1A_1\). Так как \(O\) лежит на \(AB\), а \(O_1\) — на \(A_1B_1\), то \(\angle CBO=\angle CBA\), \(\angle C_1B_1O_1=\angle C_1B_1A_1\); значит, \(\angle CBO=\angle C_1B_1O_1\). Кроме того, \(BO=\frac{AB}{2}=\frac{A_1B_1}{2}=B_1O_1\). Следовательно, \(\triangle BCO=\triangle B_1C_1O_1\) по двум сторонам и углу между ними.