135. Вероятность того, что лампочка в люстре перегорит в течение года, равна 0,2. Считая, что лампочки перегорают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что в течение года перегорят все лампочки в люстре, если в люстре: а) 2 лампочки; б) 3 лампочки; в) 5 лампочек.

Решение:

Обозначим вероятность того, что одна лампочка перегорит в течение года, как \( p = 0,2 \).

Вероятность того, что одна лампочка НЕ перегорит в течение года, равна \( q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8 \).

Так как лампочки перегорают независимо друг от друга, вероятность того, что все лампочки в люстре перегорят, равна произведению вероятностей перегорания каждой лампочки.

а) Если в люстре 2 лампочки:

Вероятность того, что перегорят обе лампочки, равна \( p \cdot p = p^2 \).

\[ P(2 \text{ перегорят}) = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \]

б) Если в люстре 3 лампочки:

Вероятность того, что перегорят все 3 лампочки, равна \( p \cdot p \cdot p = p^3 \).

\[ P(3 \text{ перегорят}) = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008 \]

в) Если в люстре 5 лампочек:

Вероятность того, что перегорят все 5 лампочек, равна \( p^5 \).

\[ P(5 \text{ перегорят}) = 0,2^5 = 0,00032 \]

Ответ:

а) 0,04

б) 0,008

в) 0,00032