1360. Решите графическим способом систему уравнении.

Решение:

Для решения систем уравнений графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения. Координаты этой точки будут являться решением системы.

а)

• \[ \begin{cases} x + y = 2 \\ 3x - y = 2 \end{cases} \]
• Первое уравнение: \[ y = -x + 2 \]. При \[ x=0 \], \[ y=2 \]. При \[ y=0 \], \[ x=2 \]. Точки: (0; 2), (2; 0).
• Второе уравнение: \[ y = 3x - 2 \]. При \[ x=0 \], \[ y=-2 \]. При \[ y=0 \], \[ x = \frac{2}{3} \]. Точки: (0; -2), (2/3; 0).
• График: Построение графиков в одной системе координат.
• Точка пересечения: Графики пересекаются в точке (1; 1).

б)

• \[ \begin{cases} x - y = -4 \\ 2x + 5y = 6 \end{cases} \]
• Первое уравнение: \[ y = x + 4 \]. При \[ x=0 \], \[ y=4 \]. При \[ y=0 \], \[ x=-4 \]. Точки: (0; 4), (-4; 0).
• Второе уравнение: \[ 5y = -2x + 6 \implies y = -\frac{2}{5}x + \frac{6}{5} \]. При \[ x=0 \], \[ y = \frac{6}{5} = 1.2 \]. При \[ y=0 \], \[ x=3 \]. Точки: (0; 1.2), (3; 0).
• График: Построение графиков в одной системе координат.
• Точка пересечения: Графики пересекаются в точке (-2; 2).

в)

• \[ \begin{cases} x + 3y = 0 \\ 0.5x - y = 2.5 \end{cases} \]
• Первое уравнение: \[ x = -3y \]. При \[ y=0 \], \[ x=0 \]. При \[ y=1 \], \[ x=-3 \]. Точки: (0; 0), (-3; 1).
• Второе уравнение: \[ 0.5x = y + 2.5 \implies x = 2y + 5 \]. При \[ y=0 \], \[ x=5 \]. При \[ x=0 \], \[ 2y = -5 \implies y = -2.5 \]. Точки: (5; 0), (0; -2.5).
• График: Построение графиков в одной системе координат.
• Точка пересечения: Графики пересекаются в точке (-3; 1).

г)

• \[ \begin{cases} 3x + 2y = -7 \\ x - y = 0 \end{cases} \]
• Первое уравнение: \[ 2y = -3x - 7 \implies y = -\frac{3}{2}x - \frac{7}{2} \]. При \[ x=-1 \], \[ y = -\frac{3}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{10}{2} = -5 \]. При \[ x=-3 \], \[ y = -\frac{3}{2}(-3) - \frac{7}{2} = \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]. Точки: (-1; -5), (-3; 1).
• Второе уравнение: \[ x = y \]. Это прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов. Точки: (0; 0), (1; 1), (-1; -1).
• График: Построение графиков в одной системе координат.
• Точка пересечения: Графики пересекаются в точке (-1; -1).

Ответ:

• а) (1; 1)
• б) (-2; 2)
• в) (-3; 1)
• г) (-1; -1)