137. На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной к данной; найти область определения и множество значений каждой из них: 1) y = 3x − 1; 2) y = (2x − 1)/3; 3) y = x² − 1 при x ≥ 0; 4) y = (x − 1)² при x ≥ 1; 5) y = x³ − 2; 6) y = (x − 1)³; 7) y = √(x − 1); 8) y = √x + 1.

Чтобы найти обратную функцию, меняем местами x и y и выражаем y. Графики функции и обратной к ней симметричны относительно прямой y = x; область определения одной функции совпадает с множеством значений другой.

1. Исходная функция: y = 3x − 1. Меняем x и y: x = 3y − 1, откуда обратная функция y = (x + 1)/3. Для обеих функций область определения и множество значений — ℝ.

2. Исходная функция: y = (2x − 1)/3. Из x = (2y − 1)/3 получаем 3x = 2y − 1, поэтому обратная функция y = (3x + 1)/2. Для обеих функций область определения и множество значений — ℝ.

3. При x ≥ 0 функция y = x² − 1 возрастает. Из x = y² − 1 получаем y = √(x + 1). Исходная: D = [0; +∞), E = [−1; +∞). Обратная: D = [−1; +∞), E = [0; +∞).

4. При x ≥ 1 функция y = (x − 1)² возрастает. Из x = (y − 1)² и ограничения y ≥ 1 следует обратная функция y = 1 + √x. Исходная: D = [1; +∞), E = [0; +∞). Обратная: D = [0; +∞), E = [1; +∞).

5. Исходная функция: y = x³ − 2. Из x = y³ − 2 получаем обратную функцию y = ∛(x + 2). Обе функции имеют D = ℝ и E = ℝ.

6. Исходная функция: y = (x − 1)³. Из x = (y − 1)³ получаем обратную функцию y = 1 + ∛x. Для обеих функций D = ℝ и E = ℝ.

7. Для y = √(x − 1) область определения x ≥ 1, а множество значений y ≥ 0. Из x = √(y − 1) следует y = x² + 1; поскольку значения исходной функции неотрицательны, для обратной функции x ≥ 0. Исходная: D = [1; +∞), E = [0; +∞). Обратная: D = [0; +∞), E = [1; +∞).

8. На рисунке под корнем стоит только x, поэтому исходная функция — y = √x + 1. Её область определения x ≥ 0, множество значений y ≥ 1. Из x = √y + 1 получаем √y = x − 1, а значит y = (x − 1)²; для обратной функции x ≥ 1. Исходная: D = [0; +∞), E = [1; +∞). Обратная: D = [1; +∞), E = [0; +∞).