1374. Найдите решение системы уравнений: a) {4(3x – 4y) + 14 = 3(5x + 2y), -2(x - 6y) = 5(3x – 4y) – 1; б)

Решение системы уравнений:

Дана система уравнений:

• \( 4(3x - 4y) + 14 = 3(5x + 2y) \)
• \( -2(x - 6y) = 5(3x - 4y) - 1 \)

Раскроем скобки и упростим первое уравнение:

\( 12x - 16y + 14 = 15x + 6y \)

\( 14 = 15x - 12x + 6y + 16y \)

\( 14 = 3x + 22y \)

Теперь упростим второе уравнение:

\( -2x + 12y = 15x - 20y - 1 \)

\( 12y + 20y = 15x + 2x - 1 \)

\( 32y = 17x - 1 \)

Получили новую систему:

• \( 3x + 22y = 14 \)
• \( 17x - 32y = 1 \)

Выразим \( x \) из первого уравнения:

\( 3x = 14 - 22y \)

\( x = \frac{14 - 22y}{3} \)

Подставим \( x \) во второе уравнение:

\( 17 \left( \frac{14 - 22y}{3} \right) - 32y = 1 \)

Умножим обе части на 3:

\( 17(14 - 22y) - 96y = 3 \)

\( 238 - 374y - 96y = 3 \)

\( 238 - 470y = 3 \)

\( 238 - 3 = 470y \)

\( 235 = 470y \)

\( y = \frac{235}{470} = \frac{1}{2} \)

Теперь найдём \( x \), подставив \( y = \frac{1}{2} \) в уравнение \( x = \frac{14 - 22y}{3} \):

\( x = \frac{14 - 22 \cdot \frac{1}{2}}{3} \)

\( x = \frac{14 - 11}{3} \)

\( x = \frac{3}{3} = 1 \)

Проверим решение, подставив \( x=1 \) и \( y=\frac{1}{2} \) в исходные уравнения.

Первое уравнение: \( 4(3(1) - 4(\frac{1}{2})) + 14 = 3(5(1) + 2(\frac{1}{2})) \)

\( 4(3 - 2) + 14 = 3(5 + 1) \)

\( 4(1) + 14 = 3(6) \)

\( 4 + 14 = 18 \)

\( 18 = 18 \) (Верно)

Второе уравнение: \( -2(1 - 6(\frac{1}{2})) = 5(3(1) - 4(\frac{1}{2})) - 1 \)

\( -2(1 - 3) = 5(3 - 2) - 1 \)

\( -2(-2) = 5(1) - 1 \)

\( 4 = 5 - 1 \)

\( 4 = 4 \) (Верно)

Ответ: x = 1, y = 1/2.