138. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.

Пусть в треугольнике ABC биссектриса AD одновременно является высотой. Тогда AD делит угол A пополам, поэтому ∠BAD = ∠CAD. Поскольку AD — высота, ∠ADB = ∠CDA = 90°.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и ACD. В них равны угол при вершине A и сторона AD, общая для обоих треугольников. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Отсюда соответствующие стороны равны: AB = AC. Значит, треугольник ABC равнобедренный.

Ответ: треугольник равнобедренный.