138. При каких целых значениях n дробь принимает целые значения: а) 91/(3n + 5); б) 123/(4n − 1); в) 159/(6n + 1); г) 205/(7n + 2); д) 5/(n² − 4); е) 6/(n² − 3)?

Дробь с целым числителем и знаменателем является целым числом тогда и только тогда, когда её знаменатель — ненулевой делитель числителя.

1. а) Пусть 3n + 5 = d, где d — делитель 91. Тогда n = (d − 5)/3. Из делителей ±1, ±7, ±13, ±91 подходят d = −1, −7, −13, −91. Отсюда n = −2, −4, −6, −32.
2. б) Пусть 4n − 1 = d, где d — делитель 123. Тогда n = (d + 1)/4. Из делителей ±1, ±3, ±41, ±123 подходят d = −1, 3, −41, 123. Отсюда n = 0, 1, −10, 31.
3. в) Пусть 6n + 1 = d, где d — делитель 159. Тогда n = (d − 1)/6. Из делителей ±1, ±3, ±53, ±159 подходят d = 1 и −53. Отсюда n = 0 и −9.
4. г) Пусть 7n + 2 = d, где d — делитель 205. Тогда n = (d − 2)/7. Из делителей ±1, ±5, ±41, ±205 подходят d = −5 и 205. Отсюда n = −1 и 29.
5. д) Знаменатель n² − 4 должен быть одним из чисел ±1, ±5. Поэтому n² = 5, 3, 9 или −1. Из этих значений квадратом целого числа является только 9, значит n = ±3. При этих значениях знаменатель не равен нулю.
6. е) Знаменатель n² − 3 должен быть одним из чисел ±1, ±2, ±3, ±6. Тогда n² может быть равен 4, 5, 6, 9, 0, 1 или −3. Квадратами целых чисел среди них являются 0, 1, 4 и 9. Значит, n = 0, ±1, ±2, ±3; знаменатель при этих значениях не равен нулю.

Ответ: а) −32, −6, −4, −2; б) −10, 0, 1, 31; в) −9, 0; г) −1, 29; д) −3, 3; е) −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.