139. На рисунке 76 AB = CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) ∠ABE = ∠ADF; б) △ABE = △CDF.

Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них AB = CD, BC = DA по условию, а AC — общая сторона. Значит, △ABC = △CDA по трём сторонам.

Из равенства этих треугольников следует, что ∠ABC = ∠CDA и ∠BAC = ∠DCA.

а) BE и DF — биссектрисы, поэтому ∠ABE = ½∠ABC, а ∠ADF = ½∠CDA. Так как ∠ABC = ∠CDA, то ∠ABE = ∠ADF.

б) Точки E и F лежат на AC, поэтому ∠BAE = ∠BAC, а ∠DCF = ∠DCA. Следовательно, ∠BAE = ∠DCF. Кроме того, AB = CD и ∠ABE = ∠CDF. Значит, △ABE = △CDF по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: а) ∠ABE = ∠ADF; б) △ABE = △CDF.