139. На рисунке (б) AB = CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, а DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) ∠ABE = ∠ADF; б) △ABE = △CDF.

Так как в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны: AB = CD и AD = BC, то ABCD — параллелограмм.

Следовательно, AB ∥ CD, AD ∥ BC, а противоположные углы равны:

\(\angle ABC = \angle ADC\).

а) BE и DF — биссектрисы соответствующих углов, поэтому:

\(\angle ABE = \frac{1}{2}\angle ABC\),

\(\angle ADF = \frac{1}{2}\angle ADC\).

Так как \(\angle ABC = \angle ADC\), то

\[\angle ABE = \angle ADF.\]

б) Рассмотрим треугольники ABE и CDF.

1. \(AB = CD\) — по условию.
2. \(\angle ABE = \angle CDF\), так как \(\angle ABE = \angle ADF\) и DF — биссектриса угла ADC, поэтому \(\angle ADF = \angle CDF\).
3. \(\angle BAE = \angle DCF\), так как \(AB \parallel CD\), а лучи AE и CF лежат на параллельных прямых AD и BC.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:

\[\triangle ABE = \triangle CDF.\]

Ответ: а) \(\angle ABE = \angle ADF\); б) \(\triangle ABE = \triangle CDF\).