139. При каких значениях переменной имеет смысл дробь: а) 1/(x³ − 9x); б) 1/(x⁵ − 16x); в) 8/(|x| − 2); г) 45/(|x| + 5); д) (2/x − 6)/(3 − 9/x); е) [1/(x − 2)]/(|x| − x)?

Дробь имеет смысл, если каждый знаменатель определён и отличен от нуля.

а) Знаменатель x³ − 9x = x(x − 3)(x + 3). Исключаем значения, при которых он равен нулю: x ≠ −3, 0, 3.

б) Знаменатель x⁵ − 16x = x(x⁴ − 16) = x(x² − 4)(x² + 4). Для действительных x множитель x² + 4 не обращается в нуль. Поэтому x ≠ −2, 0, 2.

в) Требуется |x| − 2 ≠ 0, то есть |x| ≠ 2. Следовательно, x ≠ −2 и x ≠ 2.

г) Так как |x| ≥ 0, то |x| + 5 ≥ 5 и знаменатель всегда положителен. Дробь имеет смысл при всех действительных x.

д) В выражениях 2/x и 9/x необходимо x ≠ 0. Кроме того, знаменатель всей дроби не должен равняться нулю: 3 − 9/x ≠ 0, откуда x ≠ 3. Итак, x ≠ 0, 3.

е) В выражении 1/(x − 2) требуется x ≠ 2. Знаменатель всей дроби |x| − x должен быть ненулевым. При x ≥ 0 он равен нулю, а при x < 0 равен −2x и не равен нулю. Следовательно, допустимы только x < 0.

Ответ: а) x ≠ −3, 0, 3; б) x ≠ −2, 0, 2; в) x ≠ −2, 2; г) все действительные x; д) x ≠ 0, 3; е) x < 0.