14.16. Два точечных заряда, один из которых в три раза больше другого, находясь в вакууме на расстоянии 0,30 м, взаимодействуют с силой 30 Н. Определить эти заряды. На каком расстоянии в воде сила взаимодействия зарядов увеличится в три раза?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом Кулона:

\( F = k \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \)

Где:

• \( F \) — сила взаимодействия зарядов;
• \( k \) — коэффициент пропорциональности (для вакуума \( k_{vac} = 9 \cdot 10^9 \) Н·м²/Кл²);
• \( q_1, q_2 \) — величины зарядов;
• \( r \) — расстояние между зарядами.

Дано:

• \( q_1 = q \)
• \( q_2 = 3q \)
• \( r_{vac} = 0.30 \) м
• \( F_{vac} = 30 \) Н
• Диэлектрическая проницаемость воды \( \varepsilon_{water} = 80 \)

Найти:

• \( q_1, q_2 \)
• \( r_{water} \)

1. Определение зарядов:

Из закона Кулона в вакууме:

\( F_{vac} = k_{vac} \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r_{vac}^2} \)

Подставляем известные значения:

\( 30 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{|q \cdot 3q|}{(0.30)^2} \)

\( 30 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3q^2}{0.09} \)

\( 30 = 9 \cdot 10^9 \cdot 3q^2 \cdot 100 \)

\( 30 = 2700 \cdot 10^9 \cdot q^2 \)

\( q^2 = \frac{30}{2700 \cdot 10^9} = \frac{1}{90 \cdot 10^9} = \frac{1}{9 \cdot 10^{10}} \)

\( q = \sqrt{\frac{1}{9 \cdot 10^{10}}} = \frac{1}{3 \cdot 10^5} \) Кл

Теперь найдём величины зарядов:

\( q_1 = q = \frac{1}{3 \cdot 10^5} \) Кл

\( q_2 = 3q = 3 \cdot \frac{1}{3 \cdot 10^5} = \frac{1}{10^5} \) Кл

2. Определение расстояния в воде:

В воде закон Кулона выглядит так:

\( F_{water} = k_{vac} \cdot \frac{|q_1 q_2|}{\varepsilon_{water} \cdot r_{water}^2} \)

Условие задачи: сила взаимодействия в воде увеличится в три раза. Это означает, что сила взаимодействия в воде будет равна \( 3 \cdot F_{vac} \), то есть \( 3 \cdot 30 = 90 \) Н. Но в задаче сказано, что сила увеличится в три раза. Из формулы Кулона видно, что сила обратно пропорциональна диэлектрической проницаемости среды. В вакууме \( \varepsilon = 1 \). Следовательно, в воде сила взаимодействия уменьшится, а не увеличится. Вероятно, в задаче имеется в виду, что на каком расстоянии в воде сила будет такой же, как в вакууме (30 Н), или что сила в воде будет в три раза меньше, чем в вакууме. Однако, следуя тексту, будем считать, что сила увеличивается в три раза, что физически невозможно при переходе в более плотную среду. Допустим, что в задаче спрашивается, на каком расстоянии в воде сила взаимодействия будет равна 30Н. Или, возможно, имелось в виду, что на каком расстоянии в воде сила взаимодействия будет такой же, как в вакууме (30Н). Предположим, что в условии опечатка и сила взаимодействия в воде будет ТАКАЯ ЖЕ, как в вакууме, то есть \( F_{water} = 30 \) Н.

\( 30 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{|q_1 q_2|}{80 \cdot r_{water}^2} \)

Мы знаем, что \( |q_1 q_2| = q \cdot 3q = 3q^2 = 3 \cdot \frac{1}{9 \cdot 10^{10}} = \frac{1}{3 \cdot 10^{10}} \)

\( 30 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{1/(3 \cdot 10^{10})}{80 \cdot r_{water}^2} \)

\( 30 = \frac{9 \cdot 10^9}{3 \cdot 10^{10} \cdot 80 \cdot r_{water}^2} \)

\( 30 = \frac{3 \cdot 10^{-1}}{80 \cdot r_{water}^2} \)

\( 30 = \frac{0.3}{80 \cdot r_{water}^2} \)

\( r_{water}^2 = \frac{0.3}{30 \cdot 80} = \frac{0.3}{2400} = \frac{3}{24000} = \frac{1}{8000} \)

\( r_{water} = \sqrt{\frac{1}{8000}} = \frac{1}{\sqrt{8000}} = \frac{1}{\sqrt{1600 \cdot 5}} = \frac{1}{40 \cdot \sqrt{5}} \) м

\( \sqrt{5} \approx 2.236 \)

\( r_{water} \approx \frac{1}{40 \cdot 2.236} \approx \frac{1}{89.44} \approx 0.01118 \) м

Переосмысливая условие: если сила взаимодействия в воде увеличится в три раза, это означает, что \( F_{water} = 3 \) * \( F_{vac} \) = \( 3 \) * \( 30 \) Н = \( 90 \) Н. Это противоречит закону Кулона для диэлектрической среды. Возможно, имелось в виду, на каком расстоянии в воде сила взаимодействия будет равна 30Н. Если так, то расчет выше верен. Если же задача про то, на каком расстоянии сила взаимодействия в воде будет в три раза больше, чем в вакууме (что невозможно), то задача не имеет физического решения. Предполагаем, что в задаче имелось в виду: на каком расстоянии в воде сила взаимодействия будет ТАКОЙ ЖЕ, как в вакууме, то есть 30 Н.

Ответ: Заряды равны \( \frac{1}{3 \cdot 10^5} \) Кл и \( \frac{1}{10^5} \) Кл. Расстояние в воде, при котором сила взаимодействия будет равна 30 Н, составляет приблизительно 0.011 м.