14.(2 балла) Решить уравнение lg(x-4) + lg(x-3) = lg(17-3x)

Задание 14. Решение логарифмического уравнения

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), так как аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. \[ x - 4 > 0 → x > 4 \]
2. \[ x - 3 > 0 → x > 3 \]
3. \[ 17 - 3x > 0 → 17 > 3x → x < \frac{17}{3} → x < 5\frac{2}{3} \]

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: \( 4 < x < 5\frac{2}{3} \).

Теперь решим само уравнение. Используем свойство логарифма суммы:

\[ іг((x-4)(x-3)) = іг(17-3x) \]

Поскольку основания логарифмов равны (10), можем приравнять аргументы:

\[ (x-4)(x-3) = 17-3x \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 3x - 4x + 12 = 17 - 3x \]

\[ x^2 - 7x + 12 = 17 - 3x \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 7x + 3x + 12 - 17 = 0 \]

\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

\[ D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \]

\[ x = \frac{-(-4) ± √{36}}{2(1)} = \frac{4 ± 6}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь проверим, попадают ли найденные корни в ОДЗ \( 4 < x < 5\frac{2}{3} \).

1. \[ x_1 = 5 \] — подходит, так как \( 4 < 5 < 5\frac{2}{3} \).
2. \[ x_2 = -1 \] — не подходит, так как \( -1 \) не находится в ОДЗ.

Ответ: \( x = 5 \).