14. а) Решите уравнение $2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-(\sqrt{3}-1)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0$. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. а) Решите уравнение $2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-(\sqrt{3}-1)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0$. б) Укажите…$ Фото задания

14. а) Решите уравнение $2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-(\sqrt{3}-1)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0$. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

Accepted Answer

Используем формулы приведения и сложения:

$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$, а $2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\cos x-\sin x$.
Подставим в уравнение: $\sqrt{3}\cos x-\sin x-(\sqrt{3}-1)\cos x=0$.
Соберём подобные слагаемые: $\cos x-\sin x=0$, значит $\sin x=\cos x$.
Общее решение: $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$, где $k\in\mathbb{Z}$.
Для корней на заданном отрезке: $\frac{5\pi}{2}\leq\frac{\pi}{4}+\pi k\leq4\pi$. Делим на $\pi$: $\frac{9}{4}\leq k\leq\frac{15}{4}$. Единственное целое значение — $k=3$.

Ответ: а) $x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi}{4}$.

14. а) Решите уравнение \(2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-(\sqrt{3}-1)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\). б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\).

Ответ: