14. а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-(\sqrt{3}-1)\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0$. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-(\sqrt{3}-1)\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0$. б) Укажите…$ Фото задания

14. а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-(\sqrt{3}-1)\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0$. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

а) Преобразуем левую часть, используя формулы приведения и сложения:

$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$, а $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$.

Тогда уравнение принимает вид:

$\sqrt{3}\sin x+\cos x-(\sqrt{3}-1)\sin x=0$,

$\sin x+\cos x=0$.

Если $\cos x=0$, исходное преобразованное уравнение не выполняется. Поэтому делим на $\cos x$:

$\tan x=-1$, откуда $x=-\frac{\pi}{4}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

б) Подставим общий вид корней в границы отрезка:

$-3\pi\le -\frac{\pi}{4}+\pi k\le -\frac{3\pi}{2}$.

После деления на $\pi$: $-\frac{11}{4}\le k\le -\frac{5}{4}$. Единственное целое значение — $k=-2$. Тогда $x=-\frac{9\pi}{4}$.

Ответ: а) $x=-\frac{\pi}{4}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$; б) $-\frac{9\pi}{4}$.

14. а) Решите уравнение \(2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-(\sqrt{3}-1)\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\). б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]\).

Ответ: