14. а) Решите уравнение: $2\sin x\cos^2 x-\sqrt{2}\sin 2x+\sin x=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. а) Решите уравнение: $2\sin x\cos^2 x-\sqrt{2}\sin 2x+\sin x=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие…$ Фото задания

14. а) Решите уравнение: $2\sin x\cos^2 x-\sqrt{2}\sin 2x+\sin x=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

а) Используем формулу $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

\[2\sin x\cos^2 x-2\sqrt{2}\sin x\cos x+\sin x=0.\]

Выносим $\sin x$ за скобки:

\[\sin x\left(2\cos^2 x-2\sqrt{2}\cos x+1\right)=0.\]

Отсюда либо $\sin x=0$, либо $2\cos^2 x-2\sqrt{2}\cos x+1=0$. Во втором уравнении дискриминант равен нулю, поэтому $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Итак, решения:

\[x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z;\qquad x=2\pi k\pm\frac{\pi}{4},\quad k\in\mathbb Z.\]

б) На отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ из первой серии лежат $-4\pi$ и $-3\pi$, а из второй — $-4\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{15\pi}{4}$.

Ответ: а) $x=\pi k$ или $x=2\pi k\pm\frac{\pi}{4}$, $k\in\mathbb Z$; б) $-4\pi, -\frac{15\pi}{4}, -3\pi$.

14. а) Решите уравнение: \(2\sin x\cos^2 x-\sqrt{2}\sin 2x+\sin x=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]\).

Ответ: