14. а) Решите уравнение $3 g^2 x-\frac{5}{\cos x}+1=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. а) Решите уравнение $3 g^2 x-\frac{5}{\cos x}+1=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $\cos x\ne 0$.

Используем тождество $ g^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}-1$. Обозначим $y=\frac{1}{\cos x}$. Тогда:

$3(y^2-1)-5y+1=0$, откуда $3y^2-5y-2=0$.

Разложим на множители: $(3y+1)(y-2)=0$. Поэтому $y=-\frac13$ или $y=2$.

Значение $y=-\frac13$ невозможно, поскольку из $\frac{1}{\cos x}=-\frac13$ следует $\cos x=-3$, а косинус не может быть меньше $-1$.

Из $\frac{1}{\cos x}=2$ получаем $\cos x=\frac12$, поэтому $x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3}$, где $k\in\mathbb Z$.

На отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ из этих значений находится только $-\frac{7\pi}{3}$.

Ответ: а) $x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3}$, $k\in\mathbb Z$; б) $-\frac{7\pi}{3}$.

14. а) Решите уравнение \(3 g^2 x-\frac{5}{\cos x}+1=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\).