Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 14. а) Решите уравнение \(\frac{1}{\cos x}=4\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\). б) Укажите все корни этого уравнения,…Фото задания

Ответ:

а) Область допустимых значений: \(\cos x\ne 0\).

  1. Используем тождество: \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x\). Тогда уравнение принимает вид \(\frac{1}{\cos x}=4\sin x\).
  2. Умножаем на \(\cos x\), который по ОДЗ не равен нулю: \(1=4\sin x\cos x=2\sin 2x\). Значит, \(\sin 2x=\frac12\).
  3. Отсюда \(2x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\). Поэтому \(x=\frac{\pi}{12}+\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{12}+\pi k\). В этих решениях \(\cos x\ne0\).

б) Отбираем корни на отрезке \(\left[-\frac{11\pi}{4};-\frac{7\pi}{4}\right]\).

  • Для \(x=\frac{\pi}{12}+\pi k\) подходит \(k=-2\): \(x=-\frac{23\pi}{12}\).
  • Для \(x=\frac{5\pi}{12}+\pi k\) подходит \(k=-3\): \(x=-\frac{31\pi}{12}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{12}+\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{12}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{31\pi}{12},\ -\frac{23\pi}{12}\).