14. \angle B = 53^{\circ}, \angle CMB - ?

14. Решение:

В треугольнике ABC, \( \angle A = 65^{\circ} \), \( \angle B = 53^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180 градусов.

\( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B \)

\( \angle C = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 53^{\circ} \)

\( \angle C = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ} \)

В треугольнике CMB, \( \angle MCB = \angle C = 62^{\circ} \).

CD перпендикулярно AB, значит, \( \angle CDB = 90^{\circ} \).

В треугольнике CDB, \( \angle DCB = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ} \).

ME перпендикулярно AC, значит, \( \angle AEM = 90^{\circ} \).

В треугольнике AEM, \( \angle AME = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \).

Угол \( \angle CMB \) является смежным с углом \( \angle AME \) на прямой AC, но это не верно. Рассмотрим треугольник CMB.

В треугольнике CMB, \( \angle CMB + \angle MBC + \angle MCB = 180^{\circ} \).

\( \angle MBC = \angle B = 53^{\circ} \).

\( \angle MCB \) - это часть угла C. Из треугольника CDB, \( \angle DCB = 37^{\circ} \). Из треугольника AME, \( \angle AMC = 180 - 25 - 65 = 90^{\circ} \). Но это не помогает.

Пересмотрим углы. CD - высота, ME - высота. Точка M - точка пересечения высот.

Угол \( \angle CMB \) является углом между высотами. В четырехугольнике ADMC, \( \angle A = 65^{\circ}, \angle ADC = 90^{\circ}, \angle AEM = 90^{\circ} \). Сумма углов в четырехугольнике 360 градусов.

\( \angle DMC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ} \)

Угол \( \angle CMB \) и \( \angle DMC \) - смежные, их сумма 180 градусов. Это не верно. \( \angle CMB \) и \( \angle DMC \) - вертикальные углы, если C, M, D лежат на одной прямой, что не так.

Углы \( \angle CMB \) и \( \angle DMA \) вертикальные. \( \angle DMA = 180^{\circ} - \angle A - \angle ADM = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 90^{\circ} = 25^{\circ} \). Это не верно, так как \( \angle ADM \) не 90.

Рассмотрим четырехугольник CDME. \( \angle CDE = 90^{\circ}, \angle CME = 90^{\circ} \). Угол \( \angle DCE \) = \( \angle C - \angle DCB \) = \( 62^{\circ} - 37^{\circ} = 25^{\circ} \). Угол \( \angle DME \) = \( 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ} \).

Угол \( \angle CMB \) смежен с \( \angle DMA \). Угол \( \angle DMA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \). Это не верно.

Если CD и ME - высоты, то M - ортоцентр. Угол между высотами \( \angle CMB \) равен \( 180^{\circ} - \angle A \).

\( \angle CMB = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ} \).

Ответ: \( \angle CMB = 115^{\circ} \)