14. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Решение:

Пусть дан правильный восьмиугольник ABCDEFGH. Соединим его вершины через одну: A с C, C с E, E с G, G с A. Мы получим четырехугольник ACEG.

Доказательство:

1. Равные стороны: В правильном восьмиугольнике все стороны равны. Отрезки AC, CE, EG, GA являются диагоналями восьмиугольника. Диагонали, соединяющие вершины через одну, равны. Это можно доказать, рассмотрев равные треугольники (например, \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDE \) по двум сторонам и углу между ними).
2. Равные углы: Углы четырёхугольника ACEG также равны. Каждый угол (например, \( \angle CAE \)) является частью центрального угла правильного восьмиугольника. Каждый внутренний угол правильного восьмиугольника равен \( \frac{(8-2) \cdot 180^{\circ}}{8} = 135^{\circ} \). Диагонали, соединяющие вершины через одну, делят углы восьмиугольника пополам. Например, \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - \angle ABC}{2} \). Углы \( \angle BAC \) и \( \angle CAD \) равны. Таким образом, \( \angle CAE = \angle BAC + \angle CAD \).
3. Прямые углы: Углы \( \angle ACE \), \( \angle CEG \), \( \angle EGA \), \( \angle GAC \) равны \( 90^{\circ} \). Это следует из того, что диагонали, соединяющие вершины через одну, являются диаметрами описанной окружности. Если диагонали четырехугольника равны, пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам, то это прямоугольник.
4. Квадрат: Поскольку все стороны четырёхугольника ACEG равны и все его углы равны \( 90^{\circ} \), то он является квадратом.

Вывод: Соединив вершины правильного восьмиугольника отрезками через одну, мы получим квадрат.