14. Диаметры АВ и CD окружности пересекаются в точке О. Найдите величину угла ADO, если ∠BOD = 140°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение:

Угол \( ∠ BOD \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( ∠ BD \). Следовательно, величина дуги \( ∠ BD \) равна величине центрального угла, то есть \( 140^\circ \).

Диаметры \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( O \). Рассмотрим треугольник \( ∆ AOD \).

Угол \( ∠ AOD \) и угол \( ∠ BOD \) являются смежными, так как они образуют прямую \( AB \). Однако, нам нужно найти угол \( ∠ ADO \).

Рассмотрим углы, образованные пересечением диаметров. Угол \( ∠ AOD \) и угол \( ∠ BOC \) являются вертикальными, а значит равны. Угол \( ∠ AOC \) и угол \( ∠ BOD \) также являются вертикальными.

Угол \( ∠ AOD \) является смежным с углом \( ∠ BOD \). Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \).

\( ∠ AOD + ∠ BOD = 180^\circ \)

\( ∠ AOD + 140^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ AOD = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)

Теперь рассмотрим треугольник \( ∆ AOD \). \( OA \) и \( OD \) являются радиусами окружности, поэтому \( OA = OD \). Следовательно, треугольник \( ∆ AOD \) является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы \( ∠ OAD \) и \( ∠ ODA \) (что то же самое, что \( ∠ ADO \)) являются углами при основании \( AD \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \).

\( ∠ OAD + ∠ ODA + ∠ AOD = 180^\circ \)

Пусть \( x \) — величина угла \( ∠ ODA \) (и \( ∠ OAD \)).

\( x + x + 40^\circ = 180^\circ \)

\( 2x = 180^\circ - 40^\circ \)

\( 2x = 140^\circ \)

\( x = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \)

Таким образом, величина угла \( ∠ ADO \) равна \( 70^\circ \).

Ответ: 70°.