14. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Доказательство.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По рисунку \(AO = OC\), а также \(\angle DAC = \angle BCA\).

1. Углы \(\angle DAC\) и \(\angle BCA\) — накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC. Следовательно, \(AD \parallel BC\).
2. Рассмотрим треугольники AOD и COB. В них:
   \(AO = OC\);
   \(\angle AOD = \angle COB\) как вертикальные;
   \(\angle DAO = \angle BCO\) как накрест лежащие при \(AD \parallel BC\).
3. Следовательно, \(\triangle AOD = \triangle COB\) по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому \(OD = OB\).
4. Теперь рассмотрим треугольники AOB и COD. В них:
   \(AO = OC\);
   \(OB = OD\);
   \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные.
5. Значит, \(\triangle AOB = \triangle COD\) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда \(\angle BAO = \angle OCD\), поэтому \(AB \parallel CD\).
6. В четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон параллельны: \(AD \parallel BC\) и \(AB \parallel CD\). Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.