14. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.

Пусть катеты треугольника равны \(6\) см и \(8\) см. Тогда гипотенуза:

\[c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10\text{ см}.\]

Радиус вписанной окружности:

\[r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2\text{ см}.\]

Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета, поэтому расстояние от его вершины до центра вписанной окружности найдём по прямоугольному треугольнику, в котором один катет равен радиусу \(r=2\) см, а гипотенуза — расстояние \(d\) до центра окружности. Второй катет равен \(6-r=4\) см.

По теореме Пифагора:

\[d=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ см}.\]

Ответ: \(2\sqrt{5}\) см.