14. ∫(ln x)³ dx/x

Решение:

Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной.

1. Пусть \( u = \ln x \).
2. Тогда дифференциал \( du \) будет равен: \( du = \frac{1}{x} dx \).
3. Подставим \( u \) и \( du \) в исходный интеграл: \[ \int u^3 du \]
4. Теперь проинтегрируем полученное выражение по \( u \): \[ \int u^3 du = \frac{u^{3+1}}{3+1} + C = \frac{u^4}{4} + C \]
5. Вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив \( u = \ln x \): \[ \frac{(\ln x)^4}{4} + C \]

Ответ: \( \frac{(\ln x)^4}{4} + C \).