14. Люсе надо решить 300 задач. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Люся решила 14 задач. Определите, сколько задач решила Люся в последний день, если со всеми задачами она справилась за 12 дней.

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию.

1. Дано:
   Общее количество задач \( S_{12} = 300 \)
   Количество дней \( n = 12 \)
   Первый член прогрессии \( a_1 = 14 \)
   Разность прогрессии \( d \) — неизвестна.
   Найти:
   Количество задач в последний день \( a_{12} \).
2. Формула суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \]
3. Подставим известные значения: \[ 300 = \frac{2 \cdot 14 + (12-1)d}{2} \cdot 12 \]
4. Упростим уравнение: \( 300 = (28 + 11d) \cdot 6 \)
5. Разделим обе стороны на 6: \( 50 = 28 + 11d \)
6. Найдем \( 11d \): \( 11d = 50 - 28 \)
   \( 11d = 22 \)
7. Найдем разность прогрессии \( d \): \( d = \frac{22}{11} \)
   \( d = 2 \)
8. Теперь найдем количество задач, решенных в последний, 12-й день, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \)
9. Подставим значения: \( a_{12} = 14 + (12-1) \cdot 2 \)
   \( a_{12} = 14 + 11 \cdot 2 \)
   \( a_{12} = 14 + 22 \)
   \( a_{12} = 36 \)

Ответ: Люся решила 36 задач в последний день.