14) MN — средняя линия трапеции ABCD. а) \(\overrightarrow{DA}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\). Выразите вектор \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Найдите длину MN, если AD = 10, BC = 4.

а) Поскольку M и N — середины боковых сторон, вектор средней линии равен полусумме векторов оснований, направленных в одну сторону: \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})\). В трапеции \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\). Так как \(\overrightarrow{DA}=\vec a\), то \(\overrightarrow{AD}=-\vec a\), а \(\overrightarrow{BC}=\vec b\). Следовательно, \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\vec b-\vec a)\).

б) Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований:

\(MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{10+4}{2}=7\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\vec b-\vec a)\); б) 7.