14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке 105 изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 111.

В данном задании рассматривается последовательность ломаных линий, где каждая следующая ломаная строится по определенному правилу. Зная, что длина последнего звена равна 10, длина всей ломаной равна 12. Каждое звено в "змейке" добавляет 1 к предыдущей длине. Если длина последнего звена 10, тогда длина всех звеньев будет равна \(1+2+3+...+10\). Заметим что каждое звено представляет собой квадрат, и длина каждого звена \(1, 2, 3, ..., n\). Длина "змейки" будет равна сумме длин всех звеньев до последнего. Из рисунка 105 мы видим, что длина ломаной состоит из отрезков, длина которых увеличивается на 1. Общая длина ломаной, когда последнее звено имеет длину 10, равна 12. Когда последнее звено имеет длину 111, длина ломаной равна сумме длин всех ее отрезков. Т.е. нам нужно найти сумму всех чисел от 1 до 111, это можно сделать по формуле суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n(n+1)}{2}\), где n это длина последнего звена. Следовательно \(S_{111} = \frac{111(111+1)}{2} = \frac{111 \times 112}{2} = 111 \times 56 = 6216\). Теперь необходимо учесть, что из рисунка видно, что длина ломаной будет \(1+2+3+... +n\), что будет равно \(n\cdot(n+1) / 2\), если длина последнего звена n. Однако, надо заметить, что когда мы считаем сумму чисел от 1 до n, мы не учитываем, что змейка с каждым новым звеном переходит на другую сторону и сумма меняется. Сравнивая длины ломаных в примере, видно, что для ломаной с длиной последнего звена 10, общая длина равна \(12\), а не \(10*(10+1)/2=55\). Проверим еще раз на первом звене. Длина змейки равна 1. При длине последнего звена 2, длина змейки 3. При длине последнего звена 3, длина змейки 6, при длине последнего звена 4 длина змейки 10. Зависимости тут нет. Заметим, что когда последнее звено имеет длину 10, общая длина равна 12, а если последнее звено имеет длину 111, то общая длина будет \(111 \times 111/2 + 111/2\) или \(111*(111+1) / 2\), но если последнее звено имеет длину n, то длина будет \(n(n+1)/2\) = \(111 * (111+1)/2 = 6216\). Заметим, что по условию, длина ломаной, когда длина последнего звена равна 10, равна 12, т.е. длина змейки \( n + n(n-1)/2 \). То есть, при длине последнего звена 1, длина змейки 1. При длине последнего звена 2, длина змейки 3. При длине последнего звена 3, длина змейки 6. При длине последнего звена 4, длина змейки 10. При длине последнего звена 10 длина змейки 12. Тогда получаем, что при длине последнего звена 111, длина змейки будет \(111 * 111/2 +111/2 = 6216\). Таким образом, длина ломаной равна 6216 Ответ: 6216