14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 70.

Заметим, что длина ломаной пропорциональна квадрату длины последнего звена. На рисунке последнее звено имеет длину 10, и ломаная состоит из 4 отрезков, каждый длины 10. Таким образом, общая длина ломаной 10 * (1+2+3+4) = 100. Количество отрезков удваивается при добавлении нового контура. Если длина последнего звена равна 10, то число отрезков 4, если длина последнего звена 20, то 8, и т.д., таким образом, количество отрезков пропорционально последней длине. То есть при увеличении длины последнего звена в 7 раз, длина всей ломаной увеличится в 7^2 = 49 раз. То есть длина ломаной при последнем звене 70 = 100 * (70/10)^2 = 100 * 49 = 4900. Другой способ: Длина ломаной равна сумме всех отрезков. Количество звеньев с длиной n имеет вид 2n. Общая длина змейки S = 2*1 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + ... + 2*k, где k - длина последнего звена, то есть S=n*(n+1)/2*2 = n^2+n, таким образом, при n=10 S = 10*(10+1) = 10*11 = 110. При последнем звене = 70 имеем S = 70*(70+1) = 70*71=4970, Но надо учесть, что количество звеньев чётно, и для n=10 S=100, а не 110, то есть количество отрезков в 2 раза больше чем длина последнего отрезка, S = n*(n/2)*4/2 = n^2, то есть, когда последнее звено 10, то длина = 100, когда 70, то S = 70^2 = 4900. Ответ: 4900