14. На рисунке сторона треугольника MNK равна 4√3 см, углы при вершинах N и K равны 75° и 45°. Найдите сторону MN.

Сначала найдём третий угол: \(\angle M=180^\circ-75^\circ-45^\circ=60^\circ\).

По теореме синусов сторона \(MN\), лежащая напротив угла \(K=45^\circ\), связана со стороной \(NK=4\sqrt3\), лежащей напротив угла \(M=60^\circ\):

\(\dfrac{MN}{\sin45^\circ}=\dfrac{4\sqrt3}{\sin60^\circ}\), поэтому \(MN=4\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt3/2}=4\sqrt2\) см.

Ответ: \(4\sqrt2\) см.