14. На рисунке трапеция RЕМQ, точки K и L лежат соответственно на боковых сторонах RE и MQ, причём RE = EM = MQ. Отмечено, что RK = KE и ML = LQ, ∠ERQ = 60°, RQ = 12. Найдите KL.

Так как точки K и L — середины боковых сторон трапеции, KL — её средняя линия. Поэтому

\(KL=\dfrac{EM+RQ}{2}\).

Найдём EM. Обозначим \(RE=EM=MQ=x\). Боковые стороны равны, а основания параллельны, поэтому горизонтальные проекции боковых сторон на направление основания равны. Угол между RE и основанием равен \(60^\circ\), значит проекция каждой боковой стороны равна \(x\cos60^\circ=\dfrac{x}{2}\).

Разность оснований равна сумме этих проекций: \(RQ-EM=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}=x\). Так как \(EM=x\), получаем \(RQ=2x\). Следовательно, \(12=2x\), откуда \(EM=x=6\).

Тогда \(KL=\dfrac{6+12}{2}=9\).

Ответ: 9.