14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Фигура ограничена линиями: \( y = x^3 + 7 \), \( y = -2 \), \( y = 0 \) (ось ох).

Сначала найдём точки пересечения кривых.

1. Пересечение \( y = x^3 + 7 \) и \( y = 0 \) (ось ох):

\[ x^3 + 7 = 0 \]

\( x^3 = -7 \)

\[ x = -\sqrt[3]{7} \]

2. Пересечение \( y = x^3 + 7 \) и \( y = -2 \):

\[ x^3 + 7 = -2 \]

\( x^3 = -9 \)

\[ x = -\sqrt[3]{9} \]

3. Пересечение \( y = -2 \) и \( y = 0 \) — эти линии параллельны, они не пересекаются.

Площадь фигуры можно вычислить как разность площадей под кривыми. Однако, учитывая, что \( y = -2 \) и \( y = 0 \) являются границами, и \( y = x^3 + 7 \) пересекает ось ох в точке \( x = -\sqrt[3]{7} \) (примерно -1.9), а \( y = -2 \) находится ниже оси ох, мы можем рассматривать площадь как сумму двух интегралов или как площадь между двумя кривыми.

Рассмотрим область, ограниченную \( y = x^3 + 7 \), \( y = -2 \), \( y = 0 \).

Обратите внимание, что \( y = 0 \) и \( y = -2 \) являются горизонтальными прямыми. \( y = x^3 + 7 \) — возрастающая функция.

При \( x = -\sqrt[3]{7} \approx -1.91 \), \( y = 0 \).

При \( x = -\sqrt[3]{9} \approx -2.08 \), \( y = -2 \).

Область ограничена сверху линией \( y = x^3 + 7 \) и снизу линией \( y = -2 \), и справа осью \( y = 0 \) (при \( x > -\sqrt[3]{7} \)).

Для корректного нахождения площади, нужно учесть, что линия \( y=0 \) проходит между \( y=-2 \) и \( y=x^3+7 \) при \( x > -\sqrt[3]{7} \).

Рассмотрим область между \( y = x^3 + 7 \) и \( y = -2 \) от \( x = -\sqrt[3]{9} \) до \( x = -\sqrt[3]{7} \).

Площадь S = \( \int_{- \sqrt[3]{9}}^{- \sqrt[3]{7}} ((x^3+7) - (-2)) dx \)

\[ S = \int_{- \sqrt[3]{9}}^{- \sqrt[3]{7}} (x^3+9) dx \]

\( S = [\frac{x^4}{4} + 9x]_{- \sqrt[3]{9}}^{- \sqrt[3]{7}} \)

\[ S = (\frac{(- \sqrt[3]{7})^4}{4} + 9(- \sqrt[3]{7})) - (\frac{(- \sqrt[3]{9})^4}{4} + 9(- \sqrt[3]{9})) \]

\( S = (\frac{7^{4/3}}{4} - 9 \cdot 7^{1/3}) - (\frac{9^{4/3}}{4} - 9 \cdot 9^{1/3}) \)

\( S = \frac{7 \cdot 7^{1/3}}{4} - 9 \cdot 7^{1/3} - \frac{9 \cdot 9^{1/3}}{4} + 9 \cdot 9^{1/3} \)

\[ S = 7^{1/3} (\frac{7}{4} - 9) + 9^{1/3} (9 - \frac{9}{4}) \]

\( S = 7^{1/3} (\frac{7-36}{4}) + 9^{1/3} (\frac{36-9}{4}) \)

\[ S = 7^{1/3} (-\frac{29}{4}) + 9^{1/3} (\frac{27}{4}) \]

\( S = \frac{27 \cdot \sqrt[3]{9} - 29 \cdot \sqrt[3]{7}}{4} \)

Ответ: \( \frac{27 \sqrt[3]{9} - 29 \sqrt[3]{7}}{4} \).