Ответ:
- История — предыстория: предыстория события.
- Июль — июльский: июльский день.
- Имя — безымянный: безымянный автор.
- Искать — разыскать: разыскать пропавшую вещь.
- Интерес — небезынтересный: небезынтересный рассказ.
- Инициатива — безынициативный: безынициативный ученик.
В словах «предыстория», «безымянный», «разыскать», «небезынтересный», «безынициативный» после приставок, оканчивающихся на согласную, пишется ы. В слове «июльский» приставки нет, поэтому сохраняется и.
