14. Постройте график функции y = 1/2(|x/4,5 - 4,5/x| + x/4,5 + 4,5/x). Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Пусть \(a=\dfrac{x}{4.5}\), тогда \(\dfrac{4.5}{x}=\dfrac1a\), а \(x\ne0\).

Используем правило: \(\dfrac{|u|+u}{2}=\max(u;0)\).

Получаем:

\(y=\max\left(\dfrac{x}{4.5}-\dfrac{4.5}{x};0\right)\).

Выражение \(\dfrac{x}{4.5}-\dfrac{4.5}{x}=\dfrac{x^2-20.25}{4.5x}\).

Оно положительно при \(-4.5<x<0\) и при \(x>4.5\), а отрицательно при \(x<-4.5\) и при \(0<x<4.5\).

Значит, график состоит из:

• лучей оси \(Ox\): \(x<-4.5\) и \(0<x\le4.5\);
• ветвей \(y=\dfrac{x}{4.5}-\dfrac{4.5}{x}\) при \(-4.5<x<0\) и \(x>4.5\).

Для \(m<0\) пересечений нет. При \(m=0\) график содержит бесконечно много точек. При \(m>0\) на каждой из двух положительных ветвей имеется по одной точке, то есть всего две.

Следовательно, ровно одной общей точки нет ни при каком значении \(m\).

Ответ: таких значений \(m\) нет.