14. Расстояние между пристанями А и В равно 24 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 15 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Краткая запись:

• Расстояние АВ: 24 км
• Скорость течения: 5 км/ч
• Плот отправился первым.
• Лодка отправилась через 1 час после плота.
• Плот проплыл 15 км к моменту возвращения лодки в А.
• Найти: Скорость лодки в неподвижной воде (v) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 5 км/ч.
2. Шаг 2: Время, за которое плот проплыл 15 км: \( t_{плот} = \frac{15 ext{ км}}{5 ext{ км/ч}} = 3 \) часа.
3. Шаг 3: Лодка отправилась через 1 час после плота. Значит, к моменту возвращения лодки в А, плот был в пути 3 часа, а лодка, соответственно, \( 3 - 1 = 2 \) часа.
4. Шаг 4: Лодка прошла расстояние от А до В (24 км) и обратно от В до точки, где находился плот.
5. Шаг 5: В момент возвращения лодки в А, плот проплыл 15 км. Это значит, что лодка, возвращаясь из В, встретила плот на расстоянии 15 км от А.
6. Шаг 6: Расстояние, которое проплыла лодка обратно от В, равно \( 24 ext{ км} - 15 ext{ км} = 9 \) км.
7. Шаг 7: Лодка проплыла 24 км по течению и 9 км против течения (до встречи с плотом). Общее расстояние, которое проплыла лодка, составляет \( 24 + 9 = 33 \) км.
8. Шаг 8: Общее время движения лодки — 2 часа.
9. Шаг 9: Обозначим собственную скорость лодки как 'v' км/ч.
10. Шаг 10: Скорость лодки по течению: \( v + 5 \) км/ч.
11. Шаг 11: Скорость лодки против течения: \( v - 5 \) км/ч.
12. Шаг 12: Время движения лодки по течению: \( t_{ ext{по теч.}} = \frac{24}{v+5} \) часа.
13. Шаг 13: Время движения лодки против течения: \( t_{ ext{против теч.}} = \frac{9}{v-5} \) часа.
14. Шаг 14: Общее время движения лодки: \( t_{ ext{по теч.}} + t_{ ext{против теч.}} = 2 \) часа.
    \( \frac{24}{v+5} + \frac{9}{v-5} = 2 \).
15. Шаг 15: Решаем полученное уравнение. Умножим обе части на \( (v+5)(v-5) \):
    \( 24(v-5) + 9(v+5) = 2(v+5)(v-5) \)
    \( 24v - 120 + 9v + 45 = 2(v^2 - 25) \)
    \( 33v - 75 = 2v^2 - 50 \)
    \( 2v^2 - 33v + 25 = 0 \)
16. Шаг 16: Решаем квадратное уравнение. Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-33)^2 - 4(2)(25) = 1089 - 200 = 889 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{889} \approx 29.816 \).
17. Шаг 17: Находим корни уравнения:
    \( v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{33 + 29.816}{4} = \frac{62.816}{4} \approx 15.704 \)
    \( v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{33 - 29.816}{4} = \frac{3.184}{4} \approx 0.796 \).
18. Шаг 18: Скорость течения 5 км/ч. Скорость лодки против течения должна быть больше скорости течения, чтобы лодка могла двигаться. Поэтому \( v_2 \approx 0.796 \) км/ч не подходит, так как \( 0.796 - 5 < 0 \).
19. Шаг 19: Выбираем положительный корень, который больше 5.

Ответ: 15.704 км/ч