14. Равнобедренный треугольник. Даны вершины треугольника: A(1; 2; 3), B(5; 2; 3), C(3; 5; 3). Найдите длины сторон и докажите, что треугольник равнобедренный.

Используем формулу расстояния между точками в пространстве: \(XY=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\).

1. \(AB=\sqrt{(5-1)^2+(2-2)^2+(3-3)^2}=\sqrt{16}=4\).
2. \(AC=\sqrt{(3-1)^2+(5-2)^2+(3-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\).
3. \(BC=\sqrt{(3-5)^2+(5-2)^2+(3-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\).

Так как \(AC=BC=\sqrt{13}\), треугольник равнобедренный; его основание — \(AB\).

Ответ: \(AB=4\), \(AC=BC=\sqrt{13}\); треугольник равнобедренный.