§ 14. Решите неравенство: а) x(x − 7)(2 − x) < 0; б) (x + 5)(3 − x)(x − 1) > 0; в) −x(x + 1)(4 − x)(6 − x) < 0; г) x(1 − x)(5 + x)(3 − x) > 0.

Решаем методом интервалов: отмечаем нули множителей и определяем знак произведения на каждом промежутке.

а) Нули: \(x=0,\;2,\;7\). Знаки произведения дают отрицательный результат на интервалах \((0;2)\) и \((7;+\infty)\). Точки не включаются, так как неравенство строгое.

Ответ: \(x\in(0;2)\cup(7;+\infty)\).

б) Нули: \(x=-5,\;1,\;3\). Произведение положительно на интервалах \((-\infty;-5)\) и \((1;3)\).

Ответ: \(x\in(-\infty;-5)\cup(1;3)\).

в) Перепишем: \(-x(x+1)(4-x)(6-x)=x(x+1)(x-4)(x-6)\). Нули: \(x=-1,\;0,\;4,\;6\). Произведение отрицательно на интервалах \((-infty;-1)\) и \((0;4)\).

Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\cup(0;4)\).

г) Перепишем: \(x(1-x)(5+x)(3-x)=x(x-1)(x+5)(x-3)\). Нули: \(x=-5,\;0,\;1,\;3\). Произведение положительно на интервалах \((-5;0)\) и \((1;3)\).

Ответ: \(x\in(-5;0)\cup(1;3)\).