14) Решите неравенство \( \frac{x^2-10x+25}{x^2-4} \geq 0 \)

Решение:

1. Приводим числитель к удобному виду:
2. Числитель old{x² - 10x + 25} — это полный квадрат: old{(x - 5)²}.
3. Итак, неравенство выглядит так: old{\(\frac{(x-5)^2}{x^2-4}\) \(\geq\) 0}.
4. Находим корни числителя и знаменателя:
5. Числитель: old{(x - 5)² = 0} => old{x = 5}. Это корень кратности 2.
6. Знаменатель: old{x² - 4 = 0} => old{(x - 2)(x + 2) = 0} => old{x = 2} и old{x = -2}. Эти значения не входят в область допустимых значений (ОДЗ), так как на них знаменатель обращается в ноль.
7. Определяем знаки на интервалах методом интервалов:
8. У нас есть точки: -2, 2, 5.
9. Расставим знаки для old{\(\frac{(x-5)^2}{(x-2)(x+2)}\)}:
10. Интервал (-∞; -2): Возьмем x = -3. old{\(\frac{(-3-5)^2}{(-3-2)(-3+2)}\)} = old{\(\frac{(-8)^2}{(-5)(-1)}\)} = old{\(\frac{64}{5}\) > 0}. Ставим знак +.
11. Интервал (-2; 2): Возьмем x = 0. old{\(\frac{(0-5)^2}{(0-2)(0+2)}\)} = old{\(\frac{(-5)^2}{(-2)(2)}\)} = old{\(\frac{25}{-4}\) < 0}. Ставим знак -.
12. Интервал (2; 5): Возьмем x = 3. old{\(\frac{(3-5)^2}{(3-2)(3+2)}\)} = old{\(\frac{(-2)^2}{(1)(5)}\)} = old{\(\frac{4}{5}\) > 0}. Ставим знак +.
13. Интервал (5; +∞): Возьмем x = 6. old{\(\frac{(6-5)^2}{(6-2)(6+2)}\)} = old{\(\frac{(1)^2}{(4)(8)}\)} = old{\(\frac{1}{32}\) > 0}. Ставим знак +.
14. Учитываем корень числителя x = 5:
15. Так как у нас неравенство old{\(\geq\) 0}, то x = 5 является решением. Так как это корень четной кратности, знак на интервалах справа от него не меняется.
16. Объединяем интервалы, где знак +:
17. old{(-∞; -2) \(\cup\) \(2; 5] \cup [5; +∞\)}.
18. Сокращаем запись:
19. old{(-∞; -2) \(\cup\) (2; +∞)}.

Ответ: old{(-∞; -2) \(\cup\) (2; +∞)}.