№ 14. Решите уравнение: 6cos²x + 7sinx - 7 = 0.

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), выразив \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).
2. Подставим в уравнение: \( 6(1 - \sin^2 x) + 7\sin x - 7 = 0 \)
3. Раскроем скобки: \( 6 - 6\sin^2 x + 7\sin x - 7 = 0 \)
4. Приведем подобные члены: \( -6\sin^2 x + 7\sin x - 1 = 0 \)
5. Умножим обе части на -1 для удобства: \( 6\sin^2 x - 7\sin x + 1 = 0 \)
6. Введем замену: пусть \( t = \sin x \). Тогда получим квадратное уравнение относительно \( t \): \( 6t^2 - 7t + 1 = 0 \)
7. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 \).
8. Найдем корни: \( t_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 5}{12} = \frac{12}{12} = 1 \)
9. \( t_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)
10. Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \).
11. Случай 1: \( \sin x = 1 \). Решением является \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
12. Случай 2: \( \sin x = \frac{1}{6} \). Решением является \( x = \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi k \) и \( x = \pi - \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi m \), где \( k, m \cdot \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( x = \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi k \), \( x = \pi - \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi m \), где \( n, k, m \cdot \mathbb{Z} \).