14. Решите задачу с помощью уравнения: Лодка прошла 16 км по течению реки и 12 км против течения, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость лодки (в км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v + 2 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v - 2 \) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{16}{v+2} \) часа.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{12}{v-2} \) часа.

Общее время в пути составляет 4 часа. Составим уравнение:

\[ \frac{16}{v+2} + \frac{12}{v-2} = 4 \]\[ \frac{16(v-2) + 12(v+2)}{(v+2)(v-2)} = 4 \]\[ \frac{16v - 32 + 12v + 24}{v^2 - 4} = 4 \]\[ \frac{28v - 8}{v^2 - 4} = 4 \]\[ 28v - 8 = 4(v^2 - 4) \]\[ 28v - 8 = 4v^2 - 16 \]\[ 4v^2 - 28v - 8 = 0 \]\[ v^2 - 7v - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение \( v^2 - 7v - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 49 + 8 = 57 \]\[ v = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{2} \]

Так как скорость лодки должна быть положительной, выбираем положительный корень:

\[ v = \frac{7 + \sqrt{57}}{2} \]

Приблизительное значение \( \sqrt{57} \approx 7.55 \).

\[ v \approx \frac{7 + 7.55}{2} = \frac{14.55}{2} \approx 7.275 \]На данном этапе возникла ошибка в вычислениях, пересчитаем уравнение.
\[ \frac{16}{v+2} + \frac{12}{v-2} = 4 \]\[ 16(v-2) + 12(v+2) = 4(v^2 - 4) \]\[ 16v - 32 + 12v + 24 = 4v^2 - 16 \]\[ 28v - 8 = 4v^2 - 16 \]\[ 4v^2 - 28v - 8 + 16 = 0 \]\[ 4v^2 - 28v + 8 = 0 \]\[ v^2 - 7v + 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение \( v^2 - 7v + 2 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 49 - 8 = 41 \]\[ v = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2} \]

Так как скорость лодки должна быть положительной, выбираем положительный корень:

\[ v = \frac{7 + \sqrt{41}}{2} \]

Приблизительное значение \( \sqrt{41} \approx 6.4 \).

\[ v \approx \frac{7 + 6.4}{2} = \frac{13.4}{2} \approx 6.7 \] км/ч.

Ответ: Собственная скорость лодки равна \( \frac{7 + \sqrt{41}}{2} \) км/ч (приблизительно 6.7 км/ч).