14. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDА₁B₁C₁D₁ плоскостью α содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой АС, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями α и ВСС₁, если АА₁ = 6, AB = 4.

Решение:

а) Доказательство того, что грань ABCD — квадрат:

Плоскость α содержит прямую BD₁, которая является диагональю параллелепипеда. Плоскость α параллельна прямой AC, которая является диагональю основания ABCD.

Так как плоскость α содержит диагональ BD₁ и параллельна диагонали основания AC, то сечение параллелепипеда плоскостью α будет являться параллелограммом. В условии сказано, что это ромб.

Рассмотрим основание ABCD. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся пополам. Диагонали параллелепипеда: AC, BD, A₁C₁, B₁D₁.

Диагонали грани ABCD: AC и BD. Диагонали грани A₁B₁C₁D₁: A₁C₁ и B₁D₁.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDА₁B₁C₁D₁:

• ABCD и A₁B₁C₁D₁ — прямоугольники (по определению прямоугольного параллелепипеда).
• AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁ (боковые рёбра равны).
• AB = CD = A₁B₁ = C₁D₁ (противоположные стороны прямоугольников основания равны).
• BC = AD = B₁C₁ = A₁D₁ (противоположные стороны прямоугольников основания равны).

Диагональ BD₁ лежит в плоскости BDD₁B₁. Поскольку плоскость α содержит BD₁ и параллельна AC, то AC также будет параллельна плоскости α. Это означает, что AC параллельна любой прямой в плоскости α, пересекающей BD₁.

Так как ABCD — прямоугольник, его диагонали равны: AC = BD. В ромбе диагонали перпендикулярны. Сечение — ромб. Пусть сечение — это ромб B₁D₁KL. Диагонали ромба: BD₁ и KL. Если KL || AC, то KL является диагональю другого сечения.

В условии сказано, что сечение — ромб. Пусть сечение — это четырехугольник, образованный пересечением плоскости α с гранями параллелепипеда. Плоскость α проходит через BD₁ и параллельна AC.

Пусть плоскость α пересекает ребра AB и CD в точках P и Q соответственно. Тогда сечением будет четырехугольник BPD₁Q. Поскольку BD₁ — диагональ параллелепипеда, а AC — диагональ основания, и плоскость α || AC, то BPD₁Q — параллелограмм.

Так как ABCD — прямоугольник, то AB ⊥ BC и AB ⊥ AD.

Рассмотрим плоскость ABC₁. Она содержит AC. Плоскость α содержит BD₁ и || AC.

Диагонали прямоугольника равны. AC = BD. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Тогда AO = OC = BO = OD.

Плоскость α проходит через BD₁ и параллельна AC.

Если плоскость α параллельна AC, то она пересекает грани параллелепипеда таким образом, что образующаяся фигура будет иметь стороны, параллельные AC. Но AC является диагональю основания ABCD.

Доказательство, что ABCD - квадрат:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDА₁B₁C₁D₁, сечение плоскостью α, содержащей BD₁ и параллельной AC, является ромбом. Нам нужно доказать, что ABCD – квадрат.

Так как ABCD – прямоугольник, то AB = CD и BC = AD. Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.

Плоскость α проходит через BD₁ и параллельна AC. Пусть плоскость α пересекает ребро AB в точке E и ребро CD в точке F. Тогда сечение — четырехугольник EBFD₁. Поскольку BD₁ — диагональ параллелепипеда, а AC — диагональ основания, и плоскость α || AC, то EF || AC. Следовательно, EBFD₁ — параллелограмм.

Так как AC || α, то AC || EF. E находится на AB, F находится на CD. EF — отрезок, параллельный AC и соединяющий стороны AB и CD.

Если AC || EF, то EF — это проекция AC на плоскость основания, что неверно.

Упрощенный подход:

По условию, сечение — ромб. Это означает, что все стороны сечения равны. Пусть плоскость α пересекает ребра AB и BC в точках E и G соответственно, а ребра C₁D₁ и A₁D₁ в точках H и K. Тогда сечение — ромб EGH K. Одна из диагоналей этого ромба — BD₁.

Если плоскость α параллельна AC, то расстояние от любой точки на AC до плоскости α постоянно. Но AC находится в плоскости основания.

Переформулируем условие:

Плоскость α содержит диагональ BD₁ и параллельна диагонали основания AC. Сечение — ромб.

Пусть плоскость α пересекает ребра AB в точке E и CD в точке F. Тогда сечение — четырехугольник EBFD₁. Так как BD₁ — диагональ параллелепипеда, а AC — диагональ основания, и α || AC, то EF || AC. Значит, EBFD₁ — параллелограмм. По условию, это ромб, следовательно, EB = BF = FD₁ = DE.

В прямоугольном параллелепипеде, AB || CD, BC || AD, AA₁ || BB₁ и т.д. Углы граней прямые.

Рассмотрим плоскость, проходящую через BD₁ и параллельную AC. Пусть эта плоскость пересекает ребра AB и CD в точках E и F. Тогда сечение — это четырехугольник EBFD₁. Поскольку BD₁ — диагональ, а EF || AC, то EBFD₁ — параллелограмм. Так как сечение — ромб, то EB = BF.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDА₁B₁C₁D₁:

AC — диагональ прямоугольника ABCD.

BD₁ — диагональ параллелепипеда.

Плоскость α содержит BD₁ и || AC.

Пусть плоскость α пересекает ребра AB в точке E и AD в точке H. Тогда сечением будет четырехугольник EBH D₁, где BD₁ — диагональ.

Ключевой момент: Если плоскость проходит через диагональ BD₁ и параллельна AC, то она пересекает ребра AB и CD (или их продолжения) в точках E и F, и EF || AC. Сечение — EBFD₁. Это параллелограмм, т.к. EF || AC и BD₁ — диагональ. По условию, сечение — ромб. Значит, EB = BF.

В прямоугольном параллелепипеде, AC² = AB² + BC². BD² = AB² + BC².

Рассмотрим проекцию BD₁ на плоскость основания. Это BD. AC — диагональ основания.

Доказательство, что ABCD — квадрат, из того, что сечение — ромб:

Пусть плоскость α пересекает ребра AB в точке E, BC в точке G, C₁D₁ в точке H, D₁A₁ в точке K. Сечение — ромб EGH K. Диагональ BD₁ этого ромба. Если плоскость α || AC, то EG || AC и HK || AC. И BH || DG, EK || AC. Это противоречие.

Правильный подход:

Пусть плоскость α содержит диагональ BD₁ и параллельна диагонали основания AC.

Пусть плоскость α пересекает ребра AB в точке E и BC в точке F. Тогда сечением будет четырехугольник EBF D₁. Поскольку BD₁ — диагональ параллелепипеда, а AC — диагональ основания, и α || AC, то EF || AC.

Значит, EBFD₁ — параллелограмм. По условию, это ромб, следовательно, EB = BF.

Так как ABCD — прямоугольник, то BC ⊥ AB.

Рассмотрим треугольник ABC. AC — гипотенуза. EF || AC. Треугольник EBF подобен треугольнику ABC.

Если EB = BF, то в прямоугольном треугольнике ABC, EF является биссектрисой угла B.

Ошибка в предположении, что плоскость пересекает AB и BC.

Плоскость α содержит BD₁. Она параллельна AC. Пусть плоскость α пересекает ребро AB в точке E и ребро CD в точке F. Тогда сечение — четырехугольник EBFD₁. EF || AC. Так как ABCD — прямоугольник, то AC и BD пересекаются в точке O. BD₁ — диагональ. AC — диагональ основания.

Рассмотрим векторы:

Пусть A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), C = (a, b, 0), D = (0, b, 0), A₁ = (0, 0, h), B₁ = (a, 0, h), C₁ = (a, b, h), D₁ = (0, b, h).

Вектор AC = (a, b, 0).

Вектор BD₁ = (-a, b, h).

Плоскость α содержит BD₁. Направление AC — (a, b, 0).

Пусть нормаль к плоскости α — n = (nx, ny, nz).

Так как α || AC, то n ⊥ AC, т.е. n · AC = 0.

nx * a + ny * b = 0.

Уравнение плоскости α: nx * x + ny * y + nz * z = d.

Точка B₁ = (a, 0, h) лежит в плоскости α:

nx * a + ny * 0 + nz * h = d => nx * a + nz * h = d.

Точка D₁ = (0, b, h) лежит в плоскости α:

nx * 0 + ny * b + nz * h = d => ny * b + nz * h = d.

Из nx * a + ny * b = 0, имеем ny = -(nx * a) / b.

Подставляем в уравнения:

nx * a + nz * h = d

-(nx * a / b) * b + nz * h = d => -nx * a + nz * h = d.

Вычитаем второе из первого: (nx * a + nz * h) - (-nx * a + nz * h) = d - d => 2 * nx * a = 0. Так как a ≠ 0, то nx = 0.

Если nx = 0, то ny * b = 0. Так как b ≠ 0, то ny = 0.

Если nx = 0 и ny = 0, то n = (0, 0, nz). Это означает, что плоскость α вертикальна, т.е. параллельна оси Z. Но BD₁ не параллельна оси Z (h ≠ 0).

Переосмыслим условие:

Плоскость α содержит прямую BD₁ и параллельна прямой AC.

Вектор направления AC = (a, b, 0).

Вектор направления BD₁ = (-a, b, h).

Пусть плоскость α содержит точку B₁ = (a, 0, h). Направление AC — (a, b, 0).

Направление BD₁ — (-a, b, h).

Если плоскость α || AC, то вектор AC лежит в плоскости α или параллелен ей. Если плоскость α проходит через BD₁, то BD₁ является одной из образующих плоскости.

Ключевой момент: Сечение — ромб. Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.

Если плоскость α || AC, то она пересекает грани параллелепипеда так, что сечение является параллелограммом. Пусть плоскость α пересекает AB в точке E, BC в точке G, C₁D₁ в точке H, D₁A₁ в точке K. Тогда сечение — EGH K. Диагонали EGH K — EK и GH. Одна из диагоналей параллелепипеда — BD₁.

Если AC || α, то расстояние от любой точки плоскости основания до α постоянно.

Доказательство, что ABCD — квадрат:

Пусть плоскость α пересекает ребра AB в точке E и CD в точке F. Тогда сечение — EBFD₁. EF || AC. Так как ABCD — прямоугольник, AC = BD. Если EF || AC, то EBFD₁ — параллелограмм. Так как сечение — ромб, EB = BF.

В прямоугольном параллелепипеде, AC — диагональ основания. BD₁ — диагональ параллелепипеда.

Так как α || AC, то расстояние от BD₁ до AC (или любой прямой, параллельной AC) постоянно.

Если AC || α, то расстояние от B до α равно расстоянию от D₁ до α.

Рассмотрим треугольник ABC. AC — диагональ. E на AB, F на CD. EF || AC. EBFD₁ — ромб. EB = BF = FD₁ = DE.

Так как ABCD — прямоугольник, то AB ⊥ BC.

В ромбе EBFD₁, диагонали перпендикулярны. Диагонали EBFD₁: BD₁ и EF.

BD₁ ⊥ EF.

Если EF || AC, то BD₁ ⊥ AC.

В параллелограмме ABCD, если диагонали перпендикулярны, то это ромб.

Так как ABCD — прямоугольник и его диагонали перпендикулярны, то ABCD — квадрат.

Итак, доказано, что ABCD — квадрат.

б) Нахождение угла между плоскостями α и ВСС₁:

Угол между плоскостями α и ВСС₁. Плоскость α содержит BD₁ и параллельна AC. Плоскость ВСС₁ — это боковая грань параллелепипеда.

Так как ABCD — квадрат, то AB = BC = CD = DA = 4.

AA₁ = 6.

Плоскость α содержит BD₁ и || AC.

Найдем уравнение плоскости α. Пусть A = (0, 0, 0). Тогда:

B = (4, 0, 0)

C = (4, 4, 0)

D = (0, 4, 0)

A₁ = (0, 0, 6)

B₁ = (4, 0, 6)

C₁ = (4, 4, 6)

D₁ = (0, 4, 6)

Вектор AC = (4, 4, 0).

Вектор BD₁ = (0-4, 4-0, 6-0) = (-4, 4, 6).

Плоскость α проходит через B₁ = (4, 0, 6) и содержит направление AC = (4, 4, 0). Также плоскость α содержит BD₁.

Если плоскость α содержит BD₁, то она содержит точки B₁ и D₁.

Вектор, нормальный к плоскости α, nα, должен быть перпендикулярен вектору AC (так как α || AC) и вектору BD₁ (так как BD₁ лежит в α).

nα ⊥ AC => nα · (4, 4, 0) = 0 => 4*nx + 4*ny = 0 => nx + ny = 0 => ny = -nx.

nα ⊥ BD₁ => nα · (-4, 4, 6) = 0 => -4*nx + 4*ny + 6*nz = 0.

Подставляем ny = -nx:

-4*nx + 4*(-nx) + 6*nz = 0 => -8*nx + 6*nz = 0 => 3*nz = 4*nx.

Выберем nx = 4. Тогда ny = -4, nz = 3. Значит, nα = (4, -4, 3).

Уравнение плоскости α: 4x - 4y + 3z = d.

Плоскость α содержит B₁ = (4, 0, 6):

4*4 - 4*0 + 3*6 = d => 16 + 18 = d => d = 34.

Уравнение плоскости α: 4x - 4y + 3z - 34 = 0.

Теперь найдем уравнение плоскости ВСС₁. Эта плоскость проходит через точки B = (4, 0, 0), C = (4, 4, 0), C₁ = (4, 4, 6).

Эта плоскость является x = 4.

Нормальный вектор к плоскости ВСС₁, n_BCC₁ = (1, 0, 0).

Угол θ между двумя плоскостями определяется по формуле:

\[ \cos \theta = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{||n_1|| \cdot ||n_2||} \]

nα = (4, -4, 3)

n_BCC₁ = (1, 0, 0)

\[ n_α \cdot n_{BCC₁} = (4)(1) + (-4)(0) + (3)(0) = 4 \]

\[ ||n_α|| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 16 + 9} = \sqrt{41} \]

\[ ||n_{BCC₁}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \]

\[ \cos \theta = \frac{|4|}{ \sqrt{41} \cdot 1} = \frac{4}{\sqrt{41}} \]

\[ \theta = \arccos{\left(\frac{4}{\sqrt{41}}\right)} \]

Проверка:

ABCD — квадрат, AB = BC = 4.

AA₁ = 6.

Плоскость α содержит BD₁ и || AC.

Так как ABCD — квадрат, AC ⊥ BD. А в сечении ромб EBFD₁, где EF || AC. Если BD₁ ⊥ EF, то BD₁ ⊥ AC. Значит, ABCD — ромб. Так как ABCD — прямоугольник, то он квадрат.

Найдем угол между плоскостью α (содержит BD₁, || AC) и плоскостью BCC₁ (x=4).

Пусть начало координат в точке A (0,0,0).

B = (4,0,0), C = (4,4,0), D = (0,4,0)

A₁ = (0,0,6), B₁ = (4,0,6), C₁ = (4,4,6), D₁ = (0,4,6)

Вектор AC = (4,4,0).

Вектор BD₁ = (-4,4,6).

Плоскость α проходит через B₁=(4,0,6) и параллельна AC=(4,4,0). Также она содержит BD₁.

Вектор нормали к плоскости α: nα = AC × BD₁ (если бы AC и BD₁ лежали в плоскости). Но AC || α.

Плоскость α содержит BD₁ и параллельна AC.

Пусть точка P принадлежит α. Вектор B₁P лежит в α. Вектор AC || α.

Векторы, лежащие в плоскости α: BD₁ = (-4, 4, 6) и AC = (4, 4, 0) (направление).

Нормаль к α: nα = BD₁ × AC (взяв направление AC).

nα = (-4, 4, 6) × (4, 4, 0) = (4*0 - 6*4, 6*4 - (-4)*0, (-4)*4 - 4*4)

nα = (-24, 24, -16 - 16) = (-24, 24, -32).

Можно разделить на -8: nα = (3, -3, 4).

Проверим, что AC перпендикулярно nα: (3, -3, 4) · (4, 4, 0) = 12 - 12 + 0 = 0. Верно.

Проверим, что BD₁ перпендикулярно nα: (3, -3, 4) · (-4, 4, 6) = -12 - 12 + 24 = 0. Верно.

Уравнение плоскости α: 3x - 3y + 4z = d. Проходит через B₁ = (4, 0, 6).

3*4 - 3*0 + 4*6 = d => 12 + 24 = d => d = 36.

Уравнение плоскости α: 3x - 3y + 4z - 36 = 0.

Плоскость ВСС₁: x = 4. Нормаль n_BCC₁ = (1, 0, 0).

Угол θ между плоскостями:

\[ \cos \theta = \frac{|(3, -3, 4) \cdot (1, 0, 0)|}{||(3, -3, 4)|| \cdot ||(1, 0, 0)||} \]

\[ \cos \theta = \frac{|3|}{ \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 4^2} \cdot 1} = \frac{3}{ \sqrt{9 + 9 + 16}} = \frac{3}{\sqrt{34}} \]

\[ \theta = \arccos{\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right)} \]

Ответ:

а) Доказано, что ABCD — квадрат.

б) Угол между плоскостями α и ВСС₁ равен $$\arccos{\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right)}$$.